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Integrales para Dummies

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La fórmula de integración en partes tiene la forma:
.

El método de integración en partes consiste en aplicar esta fórmula. En aplicaciones prácticas, vale la pena señalar que u y v son funciones de la variable de integración. Deje que la variable de integración se denote como x (el carácter después del signo diferencial d al final del registro integral) . Entonces u y v son funciones de x: u (x) y v (x).
Entonces
, .
Y la fórmula de integración en partes toma la forma:
.

Es decir, el integrando debe consistir en el producto de dos funciones:
,
uno de los cuales se denota como u: g (x) = u, y el otro debe calcular la integral (más precisamente, la antiderivada):
entonces dv = f (x) dx.

En algunos casos, f (x) = 1. Es decir, en la integral
,
podemos poner g (x) = u, x = v.

Entonces, en este método, la fórmula de integración en partes debe recordarse y aplicarse de dos maneras:
,
.

¿Cómo decidir?

El proceso de resolver integrales en la ciencia llamado "matemáticas" se llama integración. Mediante la integración, puede encontrar algunas cantidades físicas: área, volumen, masa de cuerpos y mucho más.

Las integrales son indefinidas y definidas. Considere la forma de cierta integral e intente comprender su significado físico. Aparece de esta forma: $$ int ^ a _b f (x) dx $$. Una característica distintiva de escribir cierta integral desde una indefinida es que existen límites de integración ay b. Ahora descubrimos por qué son necesarios y qué significa una integral definida. En el sentido geométrico, dicha integral es igual al área de la figura limitada por la curva f (x), las líneas ayb, y el eje Ox.

Se puede ver en la Fig. 1 que cierta integral es el área que está atenuada. Vamos a verlo con un simple ejemplo. Encontramos el área de la figura en la imagen presentada a continuación por integración, y luego la calculamos de la forma habitual de multiplicar la longitud por el ancho.

Se puede ver en la Fig. 2 que $ y = f (x) = 3 $, $ a = 1, b = 2 $. Ahora los sustituimos en la definición de la integral, obtenemos que $$ S = int _a ^ bf (x) dx = int _1 ^ 2 3 dx = $$ $$ = (3x) Big | _1 ^ 2 = (3 cdot 2) - (3 cdot 1) = $$ $$ = 6-3 = 3 text<ед>^ 2 $$ Hacemos la verificación de la manera habitual. En nuestro caso, longitud = 3, ancho de forma = 1. $$ S = text <длина> cdot text <ширина>= 3 cdot 1 = 3 text<ед>^ 2 $$ Como puedes ver, todo coincidió perfectamente.

Surge la pregunta: ¿cómo resolver las integrales indefinidas y cuál es su significado? La solución a tales integrales es encontrar funciones primitivas. Este proceso es lo contrario de encontrar una derivada. Para encontrar lo primitivo, puede usar nuestra ayuda para resolver problemas en matemáticas, o necesita memorizar de forma independiente e inequívoca las propiedades de las integrales y la tabla de integración de las funciones elementales más simples. Encontrar se ve así $$ int f (x) dx = F (x) + C text <где>F (x) $ es la antiderivada de $ f (x), C = const $.

Para resolver la integral, es necesario integrar la función $ f (x) $ con respecto a la variable. Si la función es tabular, la respuesta se escribe en la forma apropiada. De lo contrario, el proceso se reduce a obtener una función tabular de la función $ f (x) $ mediante astutas transformaciones matemáticas. Hay varios métodos y propiedades para esto, que consideraremos más adelante.

Integrales que contienen el logaritmo y las funciones trigonométricas inversas (hiperbólicas)

En algunas partes, las integrales a menudo se integran y contienen el logaritmo y las funciones trigonométricas o hiperbólicas inversas. Además, la parte que contiene el logaritmo o las funciones trigonométricas inversas (hiperbólicas) se denota por u, la parte restante - por dv.

Aquí hay ejemplos de tales integrales, que se calculan por el método de integración por partes:
, , , , , , .
Una solución detallada de estas integrales >>>

Solución detallada

Aquí el integrando contiene el logaritmo. Hacer sustituciones
u = ln x,
dv = x 2 dx.
Entonces
,
.

Calculamos la integral restante:
.
Entonces
.
Al final de los cálculos, es necesario agregar la constante C, ya que la integral indefinida es el conjunto de todas las primitivas. También podría agregarse en cálculos intermedios, pero esto solo saturaría los cálculos.

Propiedades integrales

  • Eliminando constantes debajo del signo integral: $$ $$ $$ int Cg (x) dx = C int g (x) dx $$
  • La integral de la suma / diferencia de dos funciones es igual a la suma / diferencia de las integrales de estas funciones: $$ int (f (x) pm g (x)) dx = int f (x) dx pm int g (x) dx $$
  • Cambio de dirección de integración: $$ int _a ^ b f (x) = - int _b ^ a f (x) dx $$
  • Dividiendo el intervalo de integración: $$ int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx $$ $$ c in (a, b) $$

Entonces, ¿ahora haremos un algoritmo para resolver integrales para dummies?

  1. Aprendemos una cierta integral o no.
  2. Si es indefinido, entonces necesitamos encontrar la función antiderivada $ F (x) $ del integrando $ f (x) $ usando transformaciones matemáticas que conducen a la forma tabular de la función $ f (x) $.
  3. Si es cierto, debe realizar el paso 2 y luego sustituir los límites $ a $ y $ b $ en la función antiderivada $ F (x) $. Encontrará qué fórmula hacer en el artículo "Fórmula Leibniz de Newton".

Ejemplos de soluciones

$$ int x dx = frac<2> + C, C = constante $$

Esta integral contiene una función de tabla debajo de su signo, lo que significa que puede registrar inmediatamente la respuesta tomada de la tabla.

Ejemplo 1
$$ int x dx $$
Solución
La respuesta
$$ int x dx = frac<2> + C $$

$$ int 3xdx = 3 int xdx = frac <3x ^ 2> <2> + C $$

Notamos que bajo el signo de la integral hay una constante 3. Por la primera propiedad, puede colocarla fuera del ícono de la integral. Además, vemos que el integrando es tabular y de él obtenemos la antiderivada para f (x) = x.

Ejemplo 2
$$ int 3xdx $$
Solución
La respuesta
$$ int 3xdx = frac <3x ^ 2> <2> + C $$

Después de analizar la integral indefinida, notamos que los integrandos son tabulares. Y su suma está dada. Puede usar la propiedad número 2. Por lo tanto, realizamos operaciones en las funciones $ f (x) $ y $ g (x) $ de acuerdo con las transformaciones indicadas en la placa. Como la integral es indefinida, obtenemos la antiderivada en la respuesta.

Ejemplo 3
$$ int (x ^ 3 + frac <1> <2 sqrt>) dx $$
Solución
La respuesta
$$ int (x ^ 3 + frac <1> <2 sqrt>) dx = frac<4> + sqrt + C $$

Entonces, has aprendido cómo resolver integrales para dummies, los ejemplos de resolución de integrales se han ordenado en estantes. Aprendió su significado físico y geométrico. Los métodos de solución se describirán en otros artículos.

El concepto de una integral definida y la fórmula de Newton-Leibniz

Integral definida de la función continua f(x) en un segmento finito [un, b] (donde) se llama el incremento de algunos de sus antiderivados en este segmento. (En general, la comprensión será mucho más fácil si repetimos el tema de la integral indefinida)

Como se puede ver en los gráficos a continuación (se indica el incremento de la función antiderivada), cierta integral puede ser un número positivo o negativo (Se calcula como la diferencia entre el valor de la antiderivada en el límite superior y su valor en el límite inferior, es decir, como F(b) - F(un)).

Los numeros un y b se denominan los límites inferior y superior de integración, respectivamente, y el segmento [un, b] - un segmento de integración.

Entonces si F(x) Es alguna función primitiva para f(x), entonces, por definición,

(38)

La igualdad (38) se llama Fórmula de Newton-Leibniz. Diferencia F(b) – F(un) se escriben brevemente de la siguiente manera:

Por lo tanto, la fórmula de Newton-Leibniz se escribirá de la siguiente manera:

(39)

Probemos que una determinada integral no depende de qué antiderivada del integrando se toma al calcularla. Dejar F(x) y Ф (x) Son antiderivadas arbitrarias del integrando. Dado que estos son primitivos de la misma función, difieren en un término constante: Φ (x) = F(x) + C. Por lo tanto

Por lo tanto, se estableció que en el segmento [un, b] incrementos de todas las funciones primitivas f(x) partido.

Por lo tanto, para calcular cierta integral, es necesario encontrar cualquier antiderivada del integrando, es decir primero debes encontrar la integral indefinida. Constante Con excluido de cálculos posteriores. Luego se aplica la fórmula de Newton-Leibniz: el valor del límite superior se sustituye en la función antiderivada b , además - el valor del límite inferior un y se calcula la diferencia F (b) - F (a) . El número resultante será una cierta integral. .

En un = b por definición aceptado

Para practicar la búsqueda de ciertas integrales, tomará tabla de integrales indefinidas básicas y subsidio "Grados y acciones de raíz".

Ejemplo 1 Calcular una integral definida

Solución Primero encontramos la integral indefinida:

Aplicando la fórmula de Newton-Leibniz a la antiderivada

(en Con = 0), obtenemos

Sin embargo, al calcular una determinada integral, es mejor no encontrar la antiderivada por separado, sino escribir inmediatamente la integral en la forma (39).

Ejemplo 2 Calcular una integral definida

Solución Usando la fórmula

Propiedades de una integral definida

Teorema 1Una integral definida con los mismos límites de integración es igual a ceroes decir

Esta propiedad está contenida en la definición de una integral definida. Sin embargo, también se puede obtener mediante la fórmula de Newton-Leibniz:

Teorema 2El valor de una determinada integral no depende de la designación de la variable de integración.es decir

(40)

Dejar F(x) - antiderivada para f(x) Para f(t) primitivo es la misma función F(t), en el que la variable independiente solo se indica de manera diferente. Por lo tanto

Basado en la fórmula (39), la última igualdad significa la igualdad de las integrales

Teorema 3El factor constante se puede sacar del signo de cierta integrales decir

(41)

Teorema 4La integral definida de la suma algebraica de un número finito de funciones es igual a la suma algebraica de las integrales definidas de estas funciones.es decir

(42)

Teorema 5Si el segmento de integración se divide en partes, entonces una cierta integral sobre todo el segmento es igual a la suma de ciertas integrales en sus parteses decir si

(43)

Teorema 6Al reorganizar los límites de la integración, el valor absoluto de una determinada integral no cambia, sino que solo cambia su signoes decir

(44)

Teorema 7 (teorema del valor medio). Una integral definida es igual al producto de la longitud del segmento de integración por el valor del integrando en algún punto dentro de éles decir

(45)

Teorema 8.Si el límite superior de integración es mayor que el inferior y el integrando no es negativo (positivo), entonces una cierta integral no es negativa (positiva), es decir si


Teorema 9.Si el límite superior de integración es mayor que el inferior y las funciones son continuas, entonces la desigualdad

puede integrar término por términoes decir

(46)

Las propiedades de una determinada integral permiten simplificar el cálculo directo de integrales.

Ejemplo 5 Calcular una integral definida

Usando los Teoremas 4 y 3, y al encontrar las antiderivadas - las integrales de la tabla (7) y (6), obtenemos


Integral definida con límite superior variable

Dejar f(x) - continuo en el segmento [un, b] función, y F(x) - es antiderivada. Considere una integral definida

(47)

,

y a través de t la variable de integración se indica para no confundirla con el límite superior. Al cambiar x la integral definida (47) también cambia, es decir es una función del límite superior de integración xque denotamos por F(x), es decir

(48)

Probemos que la función F(x) es primitivo para f(x) = f(t) De hecho, diferenciando F(x), obtenemos

Función F(x) Es uno de un número infinito de primitivas para f(x), es decir, el que x = unse desvanece Esta afirmación se obtiene si en igualdad (48) ponemos x = uny use el Teorema 1 de la sección anterior.

Cálculo de ciertas integrales por el método de integración por partes y por el método de reemplazar una variable

Al derivar la fórmula de integración en partes, obtuvimos la igualdad u dv = d (uv) – v du. Integrándolo dentro un antes b y teniendo en cuenta el Teorema 4 de la sección de este artículo sobre las propiedades de una determinada integral, obtenemos

Como se desprende del teorema 2 de la sección sobre las propiedades de la integral indefinida, el primer término en el lado derecho es igual a la diferencia de los valores del producto uv con los límites superior e inferior de integración. Habiendo escrito esta diferencia brevemente en el formulario

obtenemos la fórmula integración por partes para calcular cierta integral:

(49)

Ejemplo 6 Calcular una integral definida

Solución Integrar por partes, configurando tu = ln x , dv = dx entonces du = (1/x)dx , v = x . Por la fórmula (49) encontramos

Encuentre una cierta integral en partes por sí mismo y luego vea la solución

Ejemplo 7 Encuentra una integral definida

.

Ejemplo 8 Encuentra una integral definida

.

Procedemos al cálculo de cierta integral método de reemplazo variable. Dejar

donde, por definición, F(x) - antiderivada para f(x) Si en el integrando para reemplazar la variable

entonces de acuerdo con la fórmula (16) podemos escribir

En esta expresion

función antiderivada para

Deje que α y β sean los valores de la variable t para lo cual la función

toma valores en consecuencia uny bes decir

Pero, según la fórmula de Newton-Leibniz, la diferencia F(b) – F(un) es

(50)

Esta es la fórmula para la transición a una nueva variable bajo el signo de cierta integral. Con su ayuda, una integral definida

después de reemplazar una variable

se convierte a cierta integral con respecto a la nueva variable t. Además, los viejos límites de la integración. un y b reemplazado por nuevos límites y. Para encontrar nuevos límites, necesitas ecuación

poner valores x = uny x = bes decir resolver ecuaciones

relativo a y. Después de encontrar nuevos límites de integración, el cálculo de cierta integral se reduce a la aplicación de la fórmula de Newton-Leibniz a la integral de una nueva variable t. En la función primitiva, que se obtiene al encontrar la integral, no hay necesidad de volver a la variable anterior.

Cuando se calcula una integral por el método de reemplazo de variables, a menudo es conveniente expresar no la variable anterior en función de la nueva, sino, por el contrario, la nueva en función de la anterior.

Ejemplo 9 Calcular una integral definida

Solución Reemplazamos la variable estableciendo

Entonces dt = 2x dx de donde x dx = (1/2) dt , y el integrando se convierte así:

Encontraremos nuevos límites de integración. Sustitución de valor x = 4 y x = 5 en la ecuación

Usando ahora la fórmula (50), obtenemos

Después de reemplazar la variable, no volvimos a la variable anterior, sino que aplicamos la fórmula Newton-Leibniz a la antiderivada obtenida.

Mira el video: Integrando desde cero! integrales inmediatas, directas Varios ejemplos. Integrales básicas. (Octubre 2022).

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